Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，且滿足f(

1

3

)=1，f（x•y）=f（x）+f（y） 
（1）求f（1），f(

1

9

)的值；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法求f（1），f(

1

9

)的值；
（2）利用函數的單調性將f（x）+f（2-x）＜2，進行轉化然后解不等式即可求x的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=

1

3

，則f(

1

9

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=1+1=2．
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等價為f[x（2-x）]＜2，
即f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數，
得

x(2-x)＞0 x(2-x)＞ 1 9

，
即x（2-x）＞

1

9

，
∴x2-2x+

1

9

＜0，
解得1-

2 2

3

＜x＜1+

2 2

3

．
∴x的取值范圍為{x|1-

2 2

3

＜x＜1+

2 2

3

}．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法．