Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為 (為參數，).

（1）當時，若曲線上存在兩點關于點成中心對稱，求直線的斜率；

（2）在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，極坐標方程為的直線與曲線相交于兩點,若，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）將參數方程消去參數得到曲線的普通方程為，由曲線上存在兩點關于點成中心對稱可得，求得，于是得．（2）將曲線C的參數方程消去參數可得，根據圓的弦長公式可得，即為所求．

詳解：（1）當時，曲線的參數方程為(為參數)，

消去參數得，

∴圓心的坐標為．

∵曲線上存在兩點關于點成中心對稱，

∴，

又，

∴直線的斜率．

（2）由 (為參數，)消去參數得曲線的普通方程為，

∴圓心的坐標為，半徑為．

又直線的極坐標方程可化為，

故其直角坐標方程為，

又，

∴，

解得．

∴實數的值為．