Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率e=

2

2

，且其中一個焦點與拋物線y=

1

4

x2的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（-

1

3

，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設處橢圓的標準方程，根據離心率求的a和c的關系，進而根據拋物線的焦點求得c，進而求得a，則b可得，進而求的橢圓的標準方程．
（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．聯立兩個圓的方程求得其交點的坐標，推斷兩圓相切，進而可判斷因此所求的點T如果存在，只能是這個切點．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設出直線方程，與圓方程聯立消去y，記點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據偉大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，代入

TA

•

TB

的表達式中，求得

TA

•

TB

=0，進而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

2

2

，

c

a

=

2

2

，拋物線y=

1

4

x2的焦點為（0，1），所以c=1，a=

2

，b=1，橢圓C的方程是x²+

y2

2

=1
（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．
由

x2+y2=1 (x+ 1 3 )2+y2= 16 9

解得

x=1 y=0

即兩圓相切于點（1，0）．
因此所求的點T如果存在，只能是（1，0）．
事實上，點T（1，0）就是所求的點．證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．
若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k（x+

1

3

）．
由

y=k(x+ 1 3 ) x2+ y 2 2=1

即（k²+2）x²+

2

3

k²x+

1

9

k²-2=0．
記點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= - 2 3 k2 k2+2 x1x2= 1 9 k2-2 k2+2

又因為

TA

=（x₁-1，y₁），

TB

=（x₂-1，y₂），

TA

•

TB

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+

1

3

）（x₂+

1

3

）
=（k²+1）x₁x₂+（

1

3

k²-1）（x₁+x₂）+

1

9

k²+1
=（k²+1）

1 9 k2-2

k2+2

+（

1

3

k²-1）

- 2 3 k2

k2+2

+

1

9

k2+1=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．
所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．