Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，點P（1，

3

2

）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F₂M⊥l，求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設出橢圓的標準方程，題目給出c=1，把點P的坐標帶入橢圓方程，結合a²=b²+c²求解a，b的值，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0得到直線的斜率和截距的關系，由點到直線距離公式分別求出F₁，F₂ 到直線的距離，把距離作差后結合直線的傾斜角把
|MN|用距離差的絕對值和直線的斜率表示，然后代入直角梯形的面積公式，轉化為含有一個變量的代數式后換元，最后利用導數求最值．

解答：解：（I）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
由已知可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2 c=1

，
解得：a=2，b=

3

，
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）如圖，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化簡得：m²=4k²+3．
設d1=|F1M|=

|-k+m|

k2+1

，d2=|F2M|=

|k+m|

k2+1

．
當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，則|d₁-d₂|=|MN||tanθ|，
∴|MN|=|

d1-d2

k

|，
S=

1

2

|

d1-d2

k

|(d1+d2)=|

d12-d22

2k

|
=

2|m|

k2+1

=

2|m|

m2-3 4 +1

=

8

|m|+ 1 |m|

．
∵m²=4k²+3，∴當k≠0時，|m|=

3

，令g(t)=t+

1

t

，t=|m|＞

3

，g′(t)=1-

1

t2

，
當t＞

3

時，g′（t）＞0，∴g（t）在[

3

，+∞）上為增函數，
∴g(t)＞g(

3

)=

4 3

3

，∴S＜2

3

．
當k=0時，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2

3

．
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用函數的導函數求最值，考查了學生靈活處理問題的能力和計算能力，是高考試題中的壓軸題．