Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，曲線上任意一點到的距離等于該點到直線的距離．

（Ⅰ）求及曲線的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓只有一個交點，與曲線交于兩點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲線的方程為；（Ⅱ）0．

【解析】

解：（Ⅰ）由題意得，則，設為曲線上任意一點，由題意得，化簡即可；

（Ⅱ）設直線的方程為，，，，聯立直線與橢圓方程并消元，可求得，且，聯立直線與曲線的方程消元，可得， 而，，根據三角形面積公式，將數據代入到即可求出結論．

解：（Ⅰ）由知該橢圓的焦點在軸上，

∴，解得，

設為曲線上任意一點，

由題意得，化簡得，

∴，曲線的方程為；

（Ⅱ）設直線的方程為，，，，

由，得，

∴，

∵直線與橢圓只有一個交點，

∴，∴，

且，，①

由，得，

∴，②

由曲線的定義知，，

設點到直線的距離為，

∴，

將①②代入分子，

∴．