Question

現有一游戲裝置如圖，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物，等可能地向左，右兩邊落下．游戲規則為：若小球最終落入A槽，得10張獎票；若落入B槽，得5張獎票；若落入C槽，得重投一次的機會，但投球的總次數不超過3次．
（1）求投球一次，小球落入B槽的概率；
（2）設玩一次游戲能獲得的獎票數為隨機變量ξ，并求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）小球落入B袋中包含兩種情形當且僅當小球先向左再向右或者先向右再向左，然后求出兩種情形的概率和即可；
（2）分別計算出小球落入A槽，落入B槽，落入C槽的概率，根據題意可得ξ的取值為0、5、10，列出分布列，根據數學期望的公式解之即可．

解答：解：（1）由題意可知：若投一次小球，則落入B槽的概率為(

1

2

)2+(

1

2

)2=

1

2

．
（2）落入A槽的概率為(

1

2

)2=

1

4

，落入B槽的概率為

1

2

，落入C槽的概率為(

1

2

)2=

1

4

，
由題意可得：ξ可能取的數值為0，5，10…（5分），
p(ξ=0)=(

1

4

)3=

1

64

，…（6分）  
 p(ξ=5)=

1

2

+

1

2

•

1

4

+

1

2

•(

1

4

)2=

21

32

，…（8分）
p(ξ=10)=

1

4

+

1

4

•

1

4

+

1

4

•(

1

4

)2=

21

64

，…（10分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	5	10
p	1 64	21 32	21 64

則ξ的數學期望為：Eξ=0×

1

64

+5×

21

32

+10×

21

64

=

105

16

．…（12分）

點評：本題考查相互獨立事件同時發生的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是一個概率的綜合題，解題時注意兩問之間的關系．