Question

設(shè)函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值點(diǎn).
（3）設(shè)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，的圖象與軸交于兩點(diǎn),且，中點(diǎn)為，
求證：．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求,在上恒成立，反解參數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問題，利用基本不等式求的最小值問題；
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043235516385.png" style="vertical-align:middle;" />,所以設(shè),分情況討論在不同情況下，的根，通過來討論，主要分以及的情況，求出導(dǎo)數(shù)為0的值，判斷兩側(cè)的單調(diào)性是否改變，從而確定極值點(diǎn)；
（3）,兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，,表示出,設(shè)出的能表示正負(fù)的部分函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，從而確定.
試題解析：（1）
依題意得，在區(qū)間上不等式恒成立.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043235734386.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.                2分
（2），令
①顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；          ..3分
②當(dāng)時(shí)，
（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；          .4分
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，
易知，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)；
當(dāng)或時(shí)，，這時(shí)；
所以，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；                    .6分
當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).      8分
（Ⅲ）由已知得兩式相減，
得：       ①
由，得       ②得①代入②，得

=                10分
令且
在上遞減，          12分