Question

（2013•順義區二模）已知函數f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a為常數，e=2.718…，函數y=f（x）的圖象與坐標軸交點處的切線為l₁，函數y=g（x）的圖象與直線y=1交點處的切線為l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若對任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，求實數m的取值范圍．
（Ⅱ）對于函數y=f（x）和y=g（x）公共定義域內的任意實數x．我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數在x₀處的偏差．求證：函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別求得切點處的導數值，可得方程，進而可得a值，不等式可化為m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，求導數可得函數h（x）在[1，5]上是減函數，從而可得m＜h（5）即可；
（Ⅱ）可得a=

1

2

，進而可得|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|，通過構造函數q（x）=e^x-x-1，可得e^x-1＞x    …①，構造m（x）=lnx-x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2，還可得e^x＞lnx，綜合可得結論．

解答：解：（Ⅰ）函數y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，2a+1），
又f′（x）=2ae^x，∴f′（0）=2a，
函數y=g（x）的圖象與直線y=1的交點為（2a，1），
又g′（x）=

1

x

，g′（2a）=

1

2a

由題意可知，2a=

1

2a

，即a²=

1

4

又a＞0，所以a=

1

2

…（3分）
不等式x-m＞

x

f(x)-

x

可化為m＜x-

x

f（x）+

x

即m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，則h′（x）=1-（

1

2 x

+

x

）e^x，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥

2

，
又x＞0時，e^x＞1，∴（

1

2 x

+

x

）e^x＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是減函數
即h（x）在[1，5]上是減函數
因此，在對任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，
只需m＜h（5）=5-

5

e5，
所以實數m的取值范圍是（-∞，5-

5

e5）…（8分）
（Ⅱ）證明：y=f（x）和y=g（x）公共定義域為（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=

1

2

，
∴|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|
令q（x）=e^x-x-1，則q′（x）=e^x-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函數
故q（x）＞q（0）=0，即e^x-1＞x    …①
令m（x）=lnx-x+1，則m′（x）=

1

x

-1，
當x＞1時，m′（x）＜0；當0＜x＜1時，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2
又由①得e^x＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴e^x＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=e^x-lnx＞2
故函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2…（13分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，以及切線的方程，涉及新定義，屬中檔題．