Question

（2013•順義區二模）已知函數f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數，x=

1

2

是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當b＞

1

2

時，求函數f（x）在[b，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，x=

1

2

是函數y=f（x）的一個極值點，由f′（

1

2

）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)ex

(1+ 4 3 x2)2

，令f′（x）=0，可求得極值點，通過對f（x）與f′（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調區間，再對b分

1

2

＜b＜

3

2

與b≥

3

2

兩類討論即可求得函數f（x）在[b，+∞）上的最小值．

解答：解：f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（Ⅰ）因為x=

1

2

是函數y=f（x）的一個極值點，
所以f′（

1

2

）=0，
因此，

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

，
經檢驗，當a=

4

3

時，x=

1

2

是y=f（x）的一個極值點，故所求a的值為

4

3

．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=

( 4 3 x2- 8 3 x+1)ex

(1+ 4 3 x2)2

，
令f′（x）=0，得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
f（x）與f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		3 e 4		e e 4

所以，f（x）的單調遞增區間是（-∞，

1

2

），（

3

2

，+∞）．單調遞減區間是（

1

2

，

3

2

）．
當

1

2

＜b＜

3

2

時，f（x）在[b，

3

2

）上單調遞減，在（

3

2

，+∞）上單調遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（

3

2

）=

e e

4

，
當b≥

3

2

時，f（x）在[b，+∞）上單調遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（b）=

eb

1+ab2

=

3eb

3+4b2

．…（13分）

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，考查利用導數求閉區間上函數的最值，突出分類討論思想與方程思想的考查，屬于中檔題．