Question

若函數f（x）滿足下列條件：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數f（x）具有性質M；反之，若x₀不存在，則稱函數f（x）不具有性質M．
（1）證明：函數f（x）=2^x具有性質M，并求出對應的x₀的值；
（2）已知函數h(x)=lg

a

x2+1

具有性質M，求a的取值范圍

Answer 1

分析：（1）只要能找到滿足定義f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）的x₀的值即可說明其成立．
（2）函數具有性質M說明存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），整理成（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有實根．再分情況討論二次項系數即可求得a的取值范圍．

解答：（1）證明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：
2x0+1=2x0+2，（2分）
即：2x0=2，解得x₀=1．（5分）
所以函數f（x）=2^x具有性質M．（6分）
（2）解：h（x）的定義域為R，且可得a＞0．
因為h（x）具有性質M，所以存在x₀，
使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），
代入得：lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

．
化為2（x₀²+1）=a（x₀+1）²+a，
整理得：（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有實根．
①若a=2，得x0=-

1

2

．（8分）
②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

5

，3+

5

]，
所以：a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
（若未去掉a=2，扣1分）（14分）
綜上可得a∈[3-

5

，3+

5

]．（16分）

點評：本題是在新定義下對函數的綜合考查．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．