Question

已知向量，，滿足，，•．若對每一確定的，的最大值和最小值分別為m，n，則對任意，m-n的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：法一：可以先把向量，，放入平面直角坐標系，則 =（x₁，0），=（ ，y₁），再用 的坐標表示 的坐標，利用•，可轉化為含y₁的式子，再看y₁等于多少時，m-n有最小值即可．
法二：我們分別令 ，=，=，根據由已知中，向量，，滿足，，•．可判斷出A，B，C三點的位置關系，及m-n的幾何意義，進而得到答案．
解答：解：法一：把 放入平面直角坐標系，使 起點與坐標原點重合，方向與x軸正方向一致，則 =（1，0）
設 =（x₁，y₁），∵，∴x1=，∴=（ ，y₁）
設 =（x，y），則 =（1-x，-y），=（ -x，y₁-y）
∵（ ）•（ ）=0．∴（1-x）（ -x）-y（y₁-y）=0
化簡得，x²+y²-x-y₁y+=0，也即
點（x，y）可表示圓心在（ ，），半徑為 的圓上的點，
=，∴最大m=，最小值n=．
∴m-n=-（ ）=
當y₁²=0時，m-n有最小值為 ，
法二：解：∵，
∴令 =則A必在單位圓上，
又∵又向量 滿足 ，
∴令 =則點B必在線段OA的中垂線上，
=．
又∵
故C點在以線段AB為直徑的圓M上，任取一點C，記 =．
故m-n就是圓M的直徑|AB|
顯然，當點B在線段OA的中點時，（m-n）取最小值
即（m-n）_min=
故選B．
點評：本題考查的知識點是兩向量的和與差的模的最值，及向量加減法的幾何意義，其中根據已知條件，判斷出A，B，C三點的位置關系，及m-n的幾何意義，是解答本題的關鍵．