Question

把函數y=lnx-2的圖像按向量a=(-1，2)平移得到函數y=f(x)的圖像．

(Ⅰ)若x＞0，證明：f(x)＞；

(Ⅱ)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3時x∈[-1，1]和b∈[-1，1]都恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)由題設得f（x）=ln(x+1)

令g(x)=f(x)- ln（x+1）-，則

g′(x)=.

∵x＞0， ∴g′(x)＞0，

∴g(x)在(0，+∞)上是增函數．

故g(x)＞g(0)=0，即f(x)＞.

(Ⅱ)原不等式等價于x²-f(x²)≤m²-2bm-3．

令h(x)= x²-f(x²)= x²-ln(1+x²)，則

h(x)=x-．

令h(x)=0，得x=0，x=1，x=-1．列表如下：

x	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1
h(x)	0	+	0	-	0
h′(x)	極小值-ln2		極大值0		極小值-ln2

∴當x∈[-1，1]時，h(x)_max=0，

∴m²-2bm-3≥0

令Q(b)=-2mb+m²-3，則

解得m≤-3或m≥3．