Question

把函數y=lnx-2的圖象按向量

a

=(-1，2)平移得到函數y=f（x）的圖象．
（I）若x＞0，試比較f(x)與

2x

x+2

的大小，并說明理由；
（II）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3．當x，b∈[-1，1]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）圖象按向量

a

=(-1，2)平移，即向左平移1個單位，向右平移2各單位得到f（x）的圖象，用作差法，構造函數利用函數的導數判斷單調性進行求解；
（II）將恒成立問題轉化為最值問題，構造函數，利用函數的導數判斷單調性進而求在區間（-1，1）上的最值，最終解決不等式問題．

解答：解：（1）f（x）=ln（x+1）
令g(x)=ln(x+1)-

2x

x+2

則g′(x)=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
∴g（x）在定義域上是單調增函數
∴g（x）＞g（0）=0
∴f(x)＞

2x

x+2

（II）原不等式?

1

2

x2-f(x2)≤m²-2bm-3（x，b∈[-1，1]）恒成立，
令h(x)=

1

2

x2-ln(x2+1)，
則h′(x)=

x(x+1)(x-1)

x2+1

∴h（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減
∴ln（x）在（-1，1）上最大值為h（0）=0
∴m²-2bm-3≥0，對b∈[-1，1]恒成立
∴

2m+m2-3≥0 -2m+m2-3≥0

∴m≤-3或m≥3

點評：本題考查不等式的綜合應用，利用轉化思想將恒成立問題轉化為最值問題，考查函數導數與單調性之間的關系及求最值，屬于中檔題．