Question

【題目】某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，每袋葡萄糖的重量是一個隨機變量，它服從正態分布.當機器工作正常時，每袋葡萄糖平均重量為0.5kg，標準差為0.015kg.

（1）已知包裝每袋葡萄糖的成本為1元，若發現包裝好的葡萄糖重量異常，則需要將該袋葡萄糖進行重新包裝，假設重新包裝后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量滿足，則認為該袋葡萄糖重量正常. 問：在機器工作正常的情況下，至少包裝多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包裝好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相應成本的最小期望值.

（2）某日開工后， 為檢査該包裝機工作是否正常， 隨機地抽取它所包裝的葡萄糖9袋，若抽取的9袋葡萄糖稱得凈重(kg)為：0.496， 0.508， 0.524， 0.519， 0.495， 0.510， 0.522， 0.513， 0.512.用樣本平均數作為的估計值，以作為檢驗統計量，其中為樣本總數，服從正態分布，且.

①若機器工作正常時， 每袋葡萄糖的重量服從的正態分布曲線如下圖所示，且經計算得上述樣本數據的標準差0.022.請在下圖（機器正常工作時的正態分布曲線）中，繪制出以該樣本作為估計得到的每袋葡萄糖所服從的正態分布曲線的草圖.

②若，就推斷該包裝機工作異常，這種推斷犯錯誤的概率不超過，試以95%的可靠性估計該包裝機工作是否正常.

附： 若隨機變量服從正態分布：，

參考數據：；

Answer 1

【答案】（1）至少包裝4袋葡萄糖，最小期望值為5.2696元；（2）①作圖見解析；②在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為該包裝機工作異常，應該進行調試.

【解析】

（1）每袋葡萄糖的重量服從正態分布，先根據題意求出1次包裝葡萄糖重量正常的概率，則為次獨立重復包裝葡萄糖重量正常的袋數服從二項分布，根據二項分布的概率公式求出能使“至少有一袋包裝的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98的包裝次數，此時相應的成本為，由期望公式，求出相應成本的最小期望值；

（2）①根據給出的數據求出，則，0.022，注意在的右側，且峰值略低于原圖像峰值，作出圖象;

②根據所給的， ，，由公式，結合，下結論.

解：（1）由題意可知，機器工作正常的情況下毎袋葡萄糖的重量服從正態分布

,設為次獨立重復包裝葡萄糖重量正常的袋數.

由，知服從二項分布 .

于是

即 解得：

故需至少包裝4袋葡萄糖，才能使“至少有一袋包裝的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98.

而

故相應成本

，

所以相應成本的最小期望值為5.2696元.

（2）①如圖所示，經計算得

，（繪圖時只需保證在的右側，且峰值略低于原圖像峰值）

②易得， ，，

所以在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為該包裝機工作異常，應該進行調試.