Question

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且

OP

 • 

QF

=

FP

 • 

FQ

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知

MA

=λ 

AF

，

MB

= λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：解法一：（1）我們可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），由直線l：x=-1，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，則Q（-1，y），則我們根據(jù)

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x，y的方程，化簡后，即可得到所求曲線的方程；
（2）由過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，易求λ₁+λ₂的值．
解法二：（1）由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得

FQ

•(

PQ

+

PF

)=0，進(jìn)而可得|

PQ

|=|

PF

|．根據(jù)拋物線的定義，我們易得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，再由直線l（即準(zhǔn)線）方程為：x=-1，易得拋物線方程；
（2）由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，得λ₁•λ₂＜0．根據(jù)拋物線的定義，可們可以將由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，轉(zhuǎn)化為

| MA |

| MB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

，進(jìn)而求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（-1，y），
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化簡得C：y²=4x．

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1（m≠0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M(-1，-

2

m

)，
聯(lián)立方程組

y2=4x x=my+1

，
消去x得：y²-4my-4=0，
∴△=（-4m）²+16＞0，
故

y1+y2=4m y1y2=-4

由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

得：
y1+

2

m

=-λ1y1，y2+

2

m

=-λ2y2，
整理得：λ1=-1-

2

my1

，λ2=-1-

2

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

2

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

2

m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

2

m

•

4m

-4

=0．
法二：（Ⅰ）由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：

FQ

•(

PQ

+

PF

)=0，
∴(

PQ

-

PF

)•(

PQ

+

PF

)=0，
∴

PQ

2-

PF

2=0，∴|

PQ

|=|

PF

|．
所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，
由題意，軌跡C的方程為：y²=4x．
（Ⅱ）由已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
得λ₁•λ₂＜0．則：

| MA |

| MB |

=-

λ1| AF |

λ2| BF |

．①
過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A₁，B₁，則有：

| MA |

| MB |

=

| AA1 |

| BB1 |

=

| AF |

| BF |

．②
由①②得：-

λ1| AF |

λ2| BF |

=

| AF |

| BF |

，
即λ₁+λ₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．