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(2004•河西區一模)設F(1,0),點M在x軸上,點P在y軸上,且
MN
=2
MP
PM
PF

(1)當點P在y軸上運動時,求點N的軌跡C的方程;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點,且|
AF
|,|
BF
|,|
DF
|
成等差數列,當AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)時,求點B的坐標.
分析:(1)根據
MN
=2
MP
,可得P為MN的中點,利用
PM
PF
,可得
PM
PF
=0
,從而可得點N的軌跡C的方程;
(2)先根據拋物線的定義可知|
AF
|=x1+
p
2
,|
BF
|=x2+
p
2
,|
DF
|=x3+
p
2
,利用|
AF
|,|
BF
|,|
DF
|
成等差數列,可得x1+x3=2x2,確定AD的中垂線方程,利用AD的中點在直線上,即可求得點B的坐標.
解答:解:(1)設N(x,y),則由
MN
=2
MP
得P為MN的中點,
所以M(-x,0),P(0,
y
2
)
…(1分)
PM
PF
,∴
PM
PF
=0

PM
=(-x,-
y
2
),
PF
=(1,-
y
2
)
,…(3分)
∴y2=4x(x≠0)…(5分)
(2)由(1)知F(1,0)為曲線C的焦點,由拋物線定義知拋物線上任一點P0(x0,y0)到F的距離等于其到準線的距離,即|P0F|=x0+
p
2
…(6分)
|
AF
|=x1+
p
2
,|
BF
|=x2+
p
2
,|
DF
|=x3+
p
2

|
AF
|,|
BF
|,|
DF
|
成等差數列
∴x1+x3=2x2…(7分)
∵直線AD的斜率KAD=
y3-y1
x3-x1
=
y3-y1
y
2
3
4
-
y
2
1
4
=
4
y1+y3
…(9分)
∴AD的中垂線方程為y=-
y1+y3
4
(x-3)
…(10分)
又AD的中點(
x1+x3
2
y1+y3
2
)
在直線上,代入上式,得
x1+x3
2
=1⇒x2=1
…(11分)
故所求點B的坐標為(1,±2)…(12分)
點評:本題考查求軌跡方程,考查向量知識的運用,考查數列知識,解題的關鍵是用好向量,挖掘隱含,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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1
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a
=(1,-2),
b
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c
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m
=
a
+
b
+
c
,則
m
等于(  )

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2|cosx|-1
的定義域為(  )

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