Question

6．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，求$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識先求出a，b的關系，然后利用基本不等式求$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}$，由圖象可知當此直線經過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6）．
此時z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{2}$=1，
則$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$）（$\frac{a}{3}+\frac{2}$）=$\frac{4}{3}+3+\frac{2a}+\frac{2b}{a}$≥$\frac{13}{3}+2\sqrt{\frac{2a}×\frac{2b}{a}}$=$\frac{25}{3}$，
當且僅當a=b時取=號，
所以$\frac{4}{a}$+$\frac{6}$的最小值為：$\frac{25}{3}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義先求出最優解是解決本題的關鍵，利用基本不等式的解法和結合數形結合是解決本題的突破點．