Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量

a

=(-1，2)，又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|，求向量

OB

．
（2）若向量

AC

與向量

a

共線，常數k＞0，當f（θ）=tsinθ取最大值4時，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的坐標表示及向量模的坐標表示，列出關于n，t的方程組，并解即可．
（2）向量

AC

與向量

a

共線，得出f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ，根據最大值4，求出k或θ，求

OA

•

OC

．

解答：解：（1）

AB

=(n-8，t)，∵

AB

⊥

a

，∴8-n+2t=0
又|

AB

|=

5

|

OA

|，∴（n-8）²+t²=5×64得t=±8∴

OB

=(24，8)或（-8，-8）
（2）

AC

=(ksinθ-8，t)，
因為向量

AC

與向量

a

共線，
∴t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

①當k＞4時，0＜

4

k

＜1∴sinθ=

4

k

時，tsinθ取最大值為

32

k

，
由

32

k

=4，得k=8，此時θ=

π

6

，

OC

=(4，8)
∴

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32
②當0＜k＜4時，

4

k

＞1，
∴sinθ=1時，tsinθ取最大值為-2k+16，
由-2k+16=4，得k=6，（舍去）
綜上所述，∴

OA

•

OC

=32

點評：本題考查向量共線、垂直的坐標表示、向量的模的計算．函數最值求解，分類討論、計算等思想方法和能力．