Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2，PC＝2，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD的中點．

(1)求證：平面EAC⊥平面PCD；

(2)求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）推導出，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）作，則平面，從而與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值．

詳解：(1)證明：∵PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，

∴PC⊥AC1分

由題意可知，AD∥BC，且AD＝2BC＝2，

△ABC是等腰直角三角形．

∴AC＝BC＝，CD＝2分

∴CD2＋AC2＝AD2，即AC⊥CD，3分

又∵PC∩CD＝C4分

∴AC⊥平面PCD5分

∵AC平面EAC

∴平面EAC⊥平面PCD6分

(2)由(1)得平面EAC⊥平面PCD，

平面EAC∩平面PCD＝EC，

作PH⊥EC，∴PH⊥平面EAC8分

所以PA與平面EAC所成角為∠PAH9分

在Rt△PAC中，PA＝，

在Rt△PHC中，sin∠PCE＝，PH＝PCsin∠PCE＝10分

sin∠PAH＝＝＝，所以直線PA與平面EAC所成角的正弦值為12分