Question

（2010•上饒二模）已知橢圓

x2

4

+y2=1的下頂點為A，點B是橢圓上的任意的一點，點C、D是直線x-y-4=0上的兩點（C在D的下方），則

AB • CD

| CD |

的最大值是（　　）

• A．

  5

  +1
• B．

  5

  -1
• C．

  10 - 2

  2

• D．

  10 + 2

  2

Answer 1

分析：由于

AB • CD

| CD |

=|

AB

| cosθ表示向量

AB

在直線CD上的投影的長度，如圖，設與直線x-y-4=0上垂直的直線方程為：y=-x+b，代入橢圓的方程得到關于x 的二次主程，由△=0得：b=±

5

，結合圖形得

AB • CD

| CD |

的最大值是點A到此切線的距離，利用點到直線的距離公式求解即得．

解答：解：由于

AB • CD

| CD |

=|

AB

| cosθ表示向量

AB

在直線CD上的投影的長度，如圖，
設與直線x-y-4=0上垂直的直線方程為：
y=-x+b，
 代入橢圓的方程

x2

4

+y2=1得：

5

4

x²-2bx+b²-1=0，
由△=0得：b=±

5

，
結合圖形得，圖中橢圓的切線方程為：y=-x+

5

，

則

AB • CD

| CD |

的最大值是點A到此切線的距離，即

|-1- 5 |

1+1

=

10 + 2

2

．
故選D．

點評：本小題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．