Question

（2010•上饒二模）設函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為m．若m≥k對任意的b、c恒成立，則k的最大值是（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．

  1

  4

Answer 1

分析：函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值，然后根據b、c任意，然后取b=0，c=

1

4

與b=0，c=

1

2

進行判定，假設f（b）=|b²+c|=m，f（-1）≤m，f（1）≤m，從而求出m的范圍，即可求出所求．

解答：解：函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值
而f（-1）=|c-2b-1|，f（1）=|c+2b-1|，f（b）=|b²+c|
∵m≥k對任意的b、c恒成立，
∴當b=0，c=

1

4

時也成立即f（x）=|-x²+

1

4

|，x∈[-1，1]的最大值為

3

4

故可排除選項A
當b=0，c=

1

2

時也成立即f（x）=|-x²+

1

2

|，x∈[-1，1]的最大值為

1

2

假設f（b）=|b²+c|=m，則c=m-b²或c=-m-b²
f（-1）=|c-2b-1|≤m，f（1）=|c+2b-1|≤m，
∴（b+1）²≤2m，（b-1）²≤2m，將兩式相加得：2b²+2≤4m
即m≥

1

2

，而m≥k，k的最大值是

1

2

故選B．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及二次函數的性質和排除法的運用，屬于難題．