Question

求與直線x+2y-1=0切于點A（1，0），且過點B（2，-3）的圓的方程．

Answer 1

分析：設所求圓O方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由直線x+2y-1=0與圓O相切，根據切線的性質得到切線垂直于過切點的半徑，可得直線OA與已知直線垂直，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直線AO的斜率，由A和O的坐標表示出直線AO的斜率，得到關于a與b的關系式，記作①式，把A和B的坐標分別代入圓O的方程，得到兩個關于a，b及r的關系式，分別記作②式和③式，聯立三式即可求出a，b及r的值，確定出圓的方程．

解答：解：設所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
圓心O的坐標為（a，b），半徑為r，
由直線x+2y-1=0與圓O相切，可得直線AO與x+2y-1=0垂直，
∵x+2y-1=0的斜率為-

1

2

，∴直線AO的斜率

b

a-1

=2，①
把A的坐標代入圓的方程得：（1-a）²+b²=r²，②
把B的坐標代入圓的方程得：（2-a）²+（-3-b）²=r²，③
聯立①②③，解得a=0，b=-2，r=

5

，
則所求圓的方程為x²+（y+2）²=5．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關系，點與圓的位置關系，利用的方法是待定系數法，當直線與圓相切時，切線垂直于過切點的直徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．