Question

（09年海淀區期末理）（14分）

  如果正數數列滿足：對任意的正數M，都存在正整數則稱數列是一個無界正數列。

（I）若分別判斷數列、是否為無界正數列，并說明理由；

（II）若成立。

（III）若數列是單調遞增的無界正數列，求證：存在正整數m，使得

       

Answer 1

解析：（I）不是無界正數列，理由如下：…………1分

       取M=5，顯然…………2分

       是無界正數列，理由如下：…………3分

       對任意的正數M，取

       所以是無界正數列…………4分，

   （II）存在滿足題意的正整數k，理由如下：

       當時，

       因為

      

       讀取成立。…………9分

       注：k取大于或等于3的整數即可。

   （III）證明：因為數列是單調遞增的正數列，

       所以

      

       即

       因為是無界正數列，取，由定義知存在正整數

       所以

       由定義可知是無窮數列，考察數列顯然這仍是一個單調遞增的無界正數列，同上理由可知存在正整數，使得

   

重復上述操作，直到確定相應的正整數

       則

      

       即存在正整數成立。……14分

       說 明：其他正確解法按相應步驟給分。