Question

【題目】若函數對任意的，均有，則稱函數具有性質．

（1）判斷下面兩個函數是否具有性質，并說明理由．①；②．

（2）若函數具有性質，且，求證：對任意有；

（3）在（2）的條件下，是否對任意均有．若成立給出證明，若不成立給出反例．

Answer 1

【答案】（1）①具有性質；②不具有性質，見解析；（2）見解析（3）不成立，見解析

【解析】

（1）①根據已知中函數的解析式，結合指數的運算性質，計算出的表達式，進而根據基本不等式，判斷其符號即可得到結論；②由，舉出當時，不滿足，即可得到結論；

（2）由于本題是任意性的證明，從下面證明比較困難，故可以采用反證法進行證明，即假設為中第一個大于0的值，由此推理得到矛盾，進而假設不成立，原命題為真；

（3）由（2）中的結論，我們可以舉出反例，如，證明對任意均有不成立．

證明：（1）①函數具有性質，

，

因為，，

即，

此函數為具有性質；

②函數不具有性質，

例如，當時，

，，

所以，，

此函數不具有性質．

（2）假設為中第一個大于0的值，

則，

因為函數具有性質，

所以，對于任意，

均有，

所以，

所以，

與矛盾，

所以，對任意的有．

（3）不成立．

例如，

證明：當x為有理數時，，均為有理數，

，

當x為無理數時，，均為無理數，

所以，函數對任意的，

均有，

即函數具有性質．

而當且當x為無理數時，．

所以，在（2）的條件下，

“對任意均有”不成立．

如，，

等．