Question

已知函數().
（Ⅰ）當時，求函數的極值；   
（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）明確函數的解析式，然后利用導數法研究函數的單調性，利用極值的定義確定函數的極值問題；（Ⅱ）利用等價轉化思想，將原不等式恒成立轉化為恒成立，然后分類討論思想，即對的正負討論和分離參數法，得到不同的不等式，進而利用均值不等式探求的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）當時，，
，                  2分
令，解得.  
當時，得或；當時，得.         4分
當變化時，，的變化情況如下表：

				1
	+	0		0	+
		極大		極小

∴當時，函數有極大值，；            5分
當時，函數有極大值，，                6分
（Ⅱ）∵，∴對，恒成立，即
對恒成立，                                         7分
①當時，有，即對恒成立，      9分
∵，當且僅當時等號成立，
∴，解得                              11分
②當時，有，即對恒成立，    12分
∵，當且僅當時等號成立，
∴，解得                              13分
③當時，.
綜上得實數的取值范圍為.                       14分