Question

函數f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內是單調函數； ②存在[a，b]⊆D，（a＜b）使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱y=f（x）為閉函數．若f(x)=k+

x

是閉函數，則實數K的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據函數f(x)=k+

x

求出函數的定義域和單調性，根據函數的單調性求函數在[a，b]上的值域也是[a，b]，轉化為一元二次方程有兩個不等正實根，由一元二次方程有兩個不等正實根的充要條件

△＞0 - b 2a ＞0 f(0)≥0

，求出實數K的取值范圍．

解答：解：函數f(x)=k+

x

的定義域為[0，+∞），且是增函數；
若存在區間[a，b]∈[0，+∞） 符合條件，則a＜b
∴

k+ a =a k+ b =b

有解，
即方程k+

x

=x 有兩個不相同的非負實數根．
設t=

x

，則t≥0，則k=x-

x

=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，
因為t≥0，所以要使方程有兩個不同的實根，則-

1

4

＜k＜0，
∴實數k的取值范圍為-

1

4

＜k＜0．
故答案為：-

1

4

＜k＜0．

點評：考查根據函數解析式求函數的定義域，單調性，和利用單調性求函數的值域，體現了轉化和方程的思想方法，屬中檔題．