Question

如圖是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖，正（主）視圖和俯視圖都是矩形，側（左）視圖為等邊三角形，D為AC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）設AB₁垂直于BC₁，且BC=2，求點C到平面DBC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線線平行證明線面平行即可；
（2）先作出直線AB₁在平面BCC₁B₁內的射影，利用平面幾何知識求出BB₁的長，再利用三棱錐的換底性，用等體積法求解即可．

解答：解：（1）證明：幾何體的直觀圖，如圖，

連接BC₁和B₁C，交點為O，則O為B₁C的中點，連接OD，
∵D為中點，∴OD∥AB₁，
又AB₁?平面BDC₁，OD?平面ABC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）過D作DG⊥BC，垂足為G，連接GO，
∵側面垂直于底面，∴DG⊥側面BCC₁B₁，
∴OD在側面BCC₁B₁內的射影為GO，
∵BC=2，△ABC為等邊三角形，∴DG=

3

2

，
連接B₁F，則B₁F為AB₁在側面BCC₁B₁內的射影，
∵AB₁⊥BC₁，由三垂線逆定理得B₁F⊥BC₁，如圖：
設BB₁=x，∵∠FB₁B=∠BC₁B₁，∴

1

x

=

x

2

，∴BB₁=

2

，
S△CBC1=

1

2

×2×

2

，
∵BD=

3

，DC₁=

3

，BC₁=

6

，∴BD⊥DC₁，
∴S△DBC1=

1

2

×

3

×

3

用等體積法VC-DBC1=VD-CBC1⇒h=

SCBC1DG

SDBC1

=

6

3

．

點評：本題考查線面平行的判定，點到平面距離的求法．等體積法求點到面的距離的常用方法．