Question

【題目】在三棱錐DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E為AC的中點．

（I）證明：ADBC；

（II）求直線 DE 與平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）見證明；（II）

【解析】

（I）先作，由面面垂直的性質定理可證線面垂直，再結合條件證得面，得到結論.

（II）法一：根據（1）作出過E且與CH平行的線段，可得到線面角，再在直角三角形中求解即可. 法二：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和平面ABD的法向量，則|cos|即為所求．

（I）過作，（其中與都不重合，否則，若與重合，則與矛盾，

若與重合，則，與矛盾）

面面

面

，又

面

（II）法一：作，則，

由（1）知：面

即與面所成角，且

法二：由（I）知平面，，以為原點，分別以射線為軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系

由題意知：

∴，

∵平面的法向量為，

設與面所成角為

∴