Question

在（1）和（2）中可以任選一題作答
（1）在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上求一點，使它到直線C₂：

x=2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數）的距離最小，并求出該點的坐標和最小距離．
（2）在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l相交于A，B，若點P的坐標為(3，

5

)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（1）先將曲線C₁與直線C₂化為普通方程，所求問題轉化為與直線C₂平行且且與圓C₁相切的切線問題，進而得到答案．
（2）（Ⅰ））由圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ，得ρ2=2

5

ρsinθ，進而可化為普通方程．
（Ⅱ）將直線l的參數方程化為普通方程，再與圓C的方程聯立，即可求得點A、B的坐標，使用兩點間的距離公式即可得出答案．

解答：解：（1）將曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）化為普通方程（x-1）²+y²=1．
將直線C₂：

x=2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數）消去參數t化為普通方程x+y=1+2

2

．
設與直線C₂平行且與圓C₁相切的直線l的方程為x+y=t，如圖所示：
聯立

x+y=t (x-1)2+y2=1

消去y得到（x-1）²+（x-t）²=1，即2x²-2（1+t）x+t²=0，
∵△=0，∴4（t+1）²-8t²=0，解得t=1±

2

，
當取t=1+

2

時，切點M到直線C₂：x+y=1+2

2

的距離最小，此時，由方程2x2-2(2+

2

)x+(1+

2

)2=0解得x1=x2=

2+ 2

2

，得y=

2

2

，
∴切點M(

2+ 2

2

，

2

2

)．
其最小距離為

|1+2 2 -(1+ 2 )|

12+12

=1．

∴要求的點的坐標和最小距離分別是切點M(

2+ 2

2

，

2

2

)，1．
（2）（Ⅰ）由圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ，∴ρ2=2

5

ρsinθ，∴x2+y2=2

5

y，即x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）將直線l的參數方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數），消去參數t化為普通方程x+y=3+

5

．
聯立

x+y=3+ 5 x2+y2=2 5 y

解得

x=1 y=2+ 5

或

x=2 y=1+ 5

，不妨設A（1，2+

5

），B（2，1+

5

），
∴|PA|+|PB|=

(1-3)2+(2+ 5 - 5 )2

+

(2-3)2+(1+ 5 - 5 )2

=3

2

．

點評：本題考查了把極坐標方程、參數方程化為普通方程，然后解決直線與圓的相切與相交問題，轉化為一元二次方程的根的問題及較強的計算能力是解決問題的關鍵．