Question

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人），現用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數）．
（I）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
（II）從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽插結果分別如下表1和表2．
表1：

生產能力分組	[100，110]	[110，120]	[120，130]	[130，140]	[140，150]
人數	4	8	x	5	3

表2：

生產能力分組	[110，120]	[120，130]	[130，140]	[140，150]
人數	6	y	36	18

（i）先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖．就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）

（ii）分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人的生產能力的平均數，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）

Answer 1

分析：（1）每個工人被抽到的概率均為

1

10

，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率利用獨立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）（i）A類、B類工人人數之比為250：750=1：3，按此比例確定兩類工人需抽取的人數，再算出x和y即可．
畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更小 
（ii）取每個小矩形的橫坐標的中點乘以對應矩形的面積相加即得平均數．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為

1

10

，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為w．w.p=

1

10

×

1

10

=

1

100

．
 （Ⅱ）（i）由題意知A類工人中應抽查25名，B類工人中應抽查75名．
故4+8+x+5=25，得x=5，6+y+36+18=75，得y=5．
從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更小．
（ii）

.

xA

=

4

25

×105+

8

25

×115+

5

25

×125+

5

25

×135+

3

25

×145=123，

.

xB

=

6

75

×115+

15

75

×125+

36

75

×135+

18

75

×145=133.8

.

x

=

25

100

×123+

75

100

×133.8=133.1
A類工人生產能力的平均數，B類工人生產能力的平均數以及全工廠工人生產能力的平均數的會計值分別為123，133.8和131.1．

點評：本題考查等可能時間、相互獨立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數等知識、考查運算能力．