Question

（2010•青島一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且在x軸的上方，H是PF₁上一點(diǎn)，若

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，|

OH

|=λ|

OF1

|，λ∈[

1

3

，

1

2

]（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C離心率e的最大值；
（Ⅱ）如果離心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，點(diǎn)M（-1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N，若

NQ

=2

QM

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，△F₁OH與△F₁PF₂相似，所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ，|PF₂|=

b2

a

，|PF₁|=2a-

b2

a

，從而可求λ=

b2

2a2-b2

，于是有e2=

2

1+λ

-1，而λ∈[

1

3

，

1

2

]，可求橢圓C離心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道橢圓C離心率e的最大值是

2

2

，橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，直線l的其方程為y=k（x+1），N（0，k）設(shè)Q（x₁，y₁），由

NQ

=2

QM

可得（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），求得x₁，y₁，代入橢圓方程可求得k．

解答：解：（Ⅰ）由題意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁
則有△F₁OH與△F₁PF₂相似，所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ…（2分）
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），則有

c2

a2

+

y12

b2

=1，解得y1=

b2

a

，
所以|PF2|=y1=

b2

a

根據(jù)橢圓的定義得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-

b2

a

…（4分）
∴λ=

b2

2a2-b2

，即

b2

a2

=

2λ

1+λ

，所以e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

2

1+λ

-1…（6分）
顯然e2=

2

1+λ

-1在[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，e²取最大值

1

2

．
所以橢圓C離心率e的最大值是

2

2

…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2

a2

=

1

2

，解得a²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1…（10分）
由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k，則其方程為y=k（x+1），N（0，k）
設(shè)Q（x₁，y₁），由于

NQ

=2

QM

，所以有（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁）
∴x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（12分）
又Q是橢圓C上的一點(diǎn)，則

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，解得k=±4，
所以直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查橢圓的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（Ⅰ）中離心率e與λ關(guān)系的分析整理，突出轉(zhuǎn)化思想與方程思想的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題．