Question

已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（，1，O是坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A、B為橢圓C上相異兩點，且⊥，判定直線AB與圓O：x²+y²=的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，能求出橢圓C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，由，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由△=8（8k²-m²+4）＞0，知8k²-m²+4＞0，由韋達定理得：，y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=．由得x₁x₂+y₁y₂=0．由圓心到直線的距離，能夠推導出直線AB與圓O相切．
解答：解：（1）由，解得：，故橢圓C的方程為．（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，
由，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（1分）
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
由韋達定理得：，（1分）
則y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=．
由得：
x₁x₂+y₁y₂=0，（1分）
即，化簡得：3m²-8k²-8=0，（1分）
因為圓心到直線的距離，（1分）
，
而，∴d²=r²，即d=r．（1分）
此時直線AB與圓O相切
當直線AB的斜率不存在時，由可以計算得A，B的坐標為或．
此時直線AB的方程為．
滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線AB與圓O相切．（1分）
綜上，直線AB與圓O相切．（1分）
點評：本題考查橢圓C的方程，判定直線與圓的位置關系，并證明．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．