Question

已知離心率為的橢圓C：的左焦點為F，上頂點為E，直線EF截圓x²+y²=1所得弦長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，．試探究的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得c=b，直線EF的方程為：x-y=-b，由題意原點O 到直線EF的距離為，知b=1，a²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l∥x軸，則A、B分別是長軸的兩個端點，M在原點O處，=；若直線l與x軸不平行時，設直線l的方程為：x=my-2，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），由得：（m²+2）y²-4my+2=0，由△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，知m²＞2，，由此能推導出．
解答：解：（1）由，得c=b，直線EF的方程為：x-y=-b，
由題意原點O 到直線EF的距離為，
∴，
∴b=1，a²=2，
∴橢圓C的方程是：．…（4分）
（2）①若直線l∥x軸，則A、B分別是長軸的兩個端點，M在原點O處，
∴，
∴=．…（6分）
②若直線l與x軸不平行時，
設直線l的方程為：x=my-2，
并設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），
則，
得：（m²+2）y²-4my+2=0，（*）                          …（8分）
∵△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，
∴m²＞2，
由（*）式得，
∴==，
∵m²＞2，
∴，
∴
綜上，．…（14分）
點評：本題考查直線和橢圓的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是探究的取值范圍時因能力欠缺導致出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意提高解題能力．