Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，為直角，平面，，且.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據平面，得到，根據勾股定理得到，從而得到平面，再得到；（2）以A為原點，建立空間直角坐標系，得到平面的法向量，平面的法向量，根據向量夾角公式，從而得到求二面角的余弦值.

解：（1）證明：∵平面，

平面，∴.

∵，且，

∴，

∴，

∴，即.

又，平面

∴平面.

又平面，

∴.

（2）如圖，過點A作垂直于點F，由（1）知，.

又，

∴兩兩垂直，

∴以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，

則，

∴.

設平面的法向量，

由得

∴取.

設平面的法向量，

由得

∴取.

設二面角的平面角為，

則，

由圖可知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.