Question

（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.
（I）證明：AB₁⊥BC₁；
（II）求點B到平面AB₁C₁的距離；
（III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

Answer 1

（I）證明見解析
（II）
（III）

（法一）
（1）證：連B₁C      ∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC₁B₁  ∴B₁C為AB₁在面BCC₁B₁內的射影
又BC=BB₁ ="2"   ∴四邊形BCC₁B₁為正方形
∴B₁C ⊥ BC₁   ∴AB₁⊥ BC₁   …………………………………………………4分
（2）∵BC∥B₁C₁ 
 ∴C到面AB₁C₁的距離即為B到面AB₁C₁的距離
∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁
又B₁C₁⊥A₁C₁ ∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁C₁⊥平面ACC₁A₁
連A₁C∩AC₁ ="O"
∵四邊形ACC₁A₁為正方形  ∴CO⊥面AB₁C₁
∴CO即為所求 ∴CO= ∴B到面AB₁C₁的距離為 ………………………8分
（3）由（2）得 A₁O⊥面AB₁C₁ 
過O做OE⊥AB₁于E 連A₁E   由三垂線定理有A₁E⊥AB₁
∴∠A₁EO為二面角C₁-AB₁-A₁的平面角
又在Rt⊿A₁OE中，A₁O=   OE= 
∴tan∠A₁EO=     ∴∠A₁EO=
∴二面角C₁-AB₁-A₁的大小為       …………………………………………12分
（法二）（1）建立直角坐標系，其中C為坐標原點.
依題意A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），
C₁（0，0，2），因為，所以AB₁⊥BC₁. ……………4分 
（2）設是平面AB₁C₁的法向量，
由得
所以令，則，
因為，所以，B到平面AB₁C₁的距離為.……………8分
（3）設是平面A₁AB₁的法向量.由
 令=1，
則
因為所以，二面角C₁—AB₁—A₁的大小為60°…12分