Question

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中點，
（1）平面DEA⊥平面ECA．
（2）求直線AD與面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取AC中點N，連接MN、NB，由三角形中位線定理結合題意證出四邊形MNBD是平行四邊形．由BD⊥平面ABC，得到BN⊥BD，得四邊形MNBD是矩形，所以BN⊥MN．再由正△ABC中BN⊥AC，結合線面垂直判定定理證出BN⊥平面ECA，從而得到DM⊥平面ECA，結合面面垂直的判定即可證出平面DEA⊥平面ECA．
（2）由（1）的結論，DM⊥平面ECA，可得∠EAD就是直線AD與面AEC所成角．設等邊三角形ABC的邊長為2，在 Rt△AMD中，算出AD、DM的長度，利用直角三角形中三角函數的定義，即可算出AD與面AEC所成角的正弦值．

解答：解：（1）取AC中點N，連接MN、NB，
∵MN是△ACE的中位線，∴MN

∥

.

1

2

EC．
又∵BD

∥

.

1

2

EC，∴四邊形MNBD是平行四邊形，
∵BD⊥平面ABC，結合BN?平面ABC可得BN⊥BD
∴四邊形MNBD是矩形，可得BN⊥MN
∵△ABC為正三角形，N為AC中點，∴BN⊥AC
∵AC、MN是平面AEC內的相交直線
∴BN⊥平面ECA，
∵DM∥BN，∴DM⊥平面ECA，
∵DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）設等邊三角形ABC的邊長為2，可得
等腰Rt△AEC中，AC=CE=2，AE=

AC2+CE2

=2

2

由（1）得DM⊥平面ECA，可得∠EAD就是直線AD與面AEC所成角
DM=BN=

3

2

AC=

3

∴Rt△AMD中，AD=

AM2+DM2

=

5

，
可得sin∠EAD=

DM

AD

=

15

5

，即直線AD與面AEC所成角的正弦值等于

15

5

．

點評：本題給出特殊的四棱柱，求證面面垂直并求線面所成的角．著重考查了線面垂直的判定與性質、面面垂直判定定理和直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．