Question

在平面直角坐標系中，已知點A ( 

1

2

 ， 0 )，點B在直線l：x=-

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2

上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）內切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），由題設知|MB|=|MA|，然后根據拋物線的定義可求出動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直線PR的方程，消去參數θ，得圓的一般方程，然后根據圓心（1，0）到直線PR的距離為1，建立等式關系，化簡變形可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式求出b-c，而△PRN的面積為S=

1

2

( b-c )x0，最后利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），由題設知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以A ( 

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2

 ， 0 )為焦點，l：x=-

1

2

為準線的拋物線，其方程為y²=2x．（4分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由

x=1+cosθ y=sinθ

消去參數θ，得（x-1）²+y²=1．（6分）
由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即 

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式，
可得b-c=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．（10分）
故△PRN的面積為S=

1

2

( b-c )x0=

x 2 0

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，
等號當且僅當x₀=4時成立．此時點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )．
綜上所述，當點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )時，△PRN的面積取最小值8．（13分）

點評：本題主要考查直線，圓，拋物線，函數以及參數方程等基礎知識，同時考查運算能力以及分析問題和解決問題的能力．