Question

（本題12分）如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E, F分別是棱BC,CC₁上的點，CF="AB=2CE," AB:AD:AA₁=1:2:4.

（Ⅰ）求異面直線EF與A₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明AF⊥平面A₁ED；
（Ⅲ）求二面角A₁－ED－F的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明：利用向量證明AF⊥EA₁,AF⊥ED.又EA₁∩ED=E，推出AF⊥平面A₁ED.
（Ⅲ）

試題分析：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點.設AB=1，依題意得D（0,2,0），F（1,2,1），A₁（0,0,4），E（1,,0）

（Ⅰ）易得
于是
所以異面直線EF與A₁D所成角的余弦值為
（Ⅱ）證明：易知
于是
因此，AF⊥EA₁,AF⊥ED.
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED.
（Ⅲ）設平面EFD的法向量u=(x,y,z)，則      即
不妨令x=1，可得u=（1,2,－1）.
由（Ⅱ）可知，為平面A₁ED的一個法向量.
于是
從而
所以二面角A₁－ED－F的正弦值為
點評：典型題，立體幾何中的垂直、平行關系，是高考常常考查的內容。關于角的計算通常有兩種思路，一是幾何法，注意“一作、二證、三計算”；二一種思路，是利用空間向量，簡化證明過程。