Question

如圖，已知正方形的邊長為1，在正方形ABCD中有兩個相切的內切圓．
（1）求這兩個內切圓的半徑之和；
（2）當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最小值？當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最大值？

Answer 1

分析：（1）由題意可知三角形CEO₁為等腰直角三角形，根據勾股定理得到CO₁等于

2

R₁；同理得到AO₂等于

2

R₂，根據線段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，將各自的值代入即可表示出AC的長，又根據正方形的邊長為1，利用勾股定理求出AC的長度，兩者相等即可求出兩半徑之和的值；
（2）根據兩圓的半徑，利用圓的面積公式表示出兩圓的面積之和，由（1）中求出的兩半徑之和表示出R₂，代入兩圓的面積之和的式子中消去R₂，得到關于R₁的關系式，根據完全平方大于等于0求出兩圓面積之和的最小值時，兩半徑的值即可．

解答：解：（1）由圖知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=

2

R1．
同理AO₂=

2

R2．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=

2

（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=(

2

+1)（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=

2

∴(

2

+1)（R₁+R₂）=

2

，
∴R₁+R₂=

2

2 +1

=2-

2

；

（2）兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²
=π(R12+R22)=π[R12+(2-

2

-R1)2]
=π[2R12-2(2-

2

)R1+(2-

2

)2]
=2π[(R1-

2- 2

2

)2+

(2- 2 )2

4

]．
∴當R₁=

2- 2

2

，即R₁=R₂時S為最小．
因R₁的最大值為R₁=

1

2

，這時R₂為最小值，其值為R₂=(2-

2

)-

1

2

=

3

2

-

2

；
又當R₂=

1

2

時，R₁有最小值R₁=

3

2

-

2

，
故當R₁=

1

2

（此時R₂=

3

2

-

2

）或R₁=

3

2

-

2

（此時R₂=

1

2

）時，S有最大值．

點評：此題考查學生掌握正方形的性質，掌握直線與圓相切時所滿足的條件以及兩圓外切時所滿足的條件，是一道多知識的綜合題．