Question

已知數列{a_n}，如果數列{b_n}滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“生成數列”
（1）若數列{a_n}的通項為a_n=n，寫出數列{a_n}的“生成數列”{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}的通項為c_n=2n+b，（其中b是常數），試問數列{c_n}的“生成數列”{l_n}是否是等差數列，請說明理由．
（3）已知數列{d_n}的通項為dn=2n+n，設數列{d_n}的“生成數列”{p_n}的前n項和為T_n，問是否存在自然數m滿足滿足（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，若存在請求出m的值，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“生成數列”的定義，數列{b_n}滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，結合數列{a_n}的通項為a_n=n，遞推可得結論；
（2）根據“生成數列”的定義，結合數列{c_n}的通項為c_n=2n+b，（其中b是常數），求出數列{c_n}的“生成數列”{l_n}，利用等差數列的定義判斷后可得結論；
（3）根據“生成數列”的定義，結合數列{d_n}的通項為dn=2n+n，求出數列{d_n}的“生成數列”{p_n}的前n項和為T_n，解不等式可得m的值．

解答：解：（1）∵數列{b_n}滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，
數列{a_n}的通項為a_n=n，
∴bn=

1                   n=1 2n-1            n≥2 ，∈N*

3分
綜合得：b_n=2n-14分
（2）ln=

2+B                   n=1 4n+2B-2        n≥2 ，∈N*

6分
當b=0時，l_n=4n-2，由于l_n+1-l_n=4（常數）
所以此時數列{c_n}的“生成數列”{l_n}是等差數列            8分
當b≠0時，由于c₁=2+b，c₂=6+2b，c₃=10+2b，9分
此時c₁+c₃≠2c₂，
∴此時數列{c_n}的“生成數列”{l_n}不是等差數列．        10分
（3）pn=

3                          n=1 3•2n-1+2n-1        n＞1

11分
當n=1時，T_n=p₁=312分
當n≥2時Tn=p1+p2+p3+…+pn=3+(3•2+3)+(3•22+5)+…+(3•2n-1+2n-1)
=3+（3•2+3•2²+…+3•2^n-1）+（3+5+…+2n-1）
=3•2ⁿ+n²-4，14分
所以Tn=

3                          n=1 3•2n+n2-4        n≥2

，15分
若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，則2012≤T_n≤626016分
由于{T_n}對于一切自然數是增函數，
T₉=1613＜2012，T₁₀=3168＞2013T₁₁=6261＞6260
所以存在唯一的自然數m=10滿足若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0成立            18分．

點評：本題考查的知識識是數列與不等式，等差關系的確定，數列的遞推式，是數列知識較為綜合的應用，還涉及新定義，較難理解，屬于難題．