Question

甲．如圖1，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等邊三角形，ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F是AB的中點．
（1）求VC與平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度數；
（3）當V到平面ABCD的距離是3時，求B到平面VFC的距離．
乙、如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是B₁B、AB、BC的中點．
（1）證明：D₁F⊥EG；
（2）證明：D₁F⊥平面AEG；
（3）求cos＜

AE

，

D1B

＞．
注意：考生在（19甲）、（19乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（19甲）計分．

Answer 1

分析：甲（1）取AD的中點G連接VG，CG，由等腰三角形三線合一及面面垂直的性質可得VG⊥平面ABCD，即∠VCG為CV與平面ABCD所成的角，解Rt△GDC及Rt△VGC可得VC與平面ABCD所成的角；
（2）連接GF，解△GFC中可得GF⊥FC，連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角，解Rt△VFG可得二面角V-FC-B的度數；
（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG=3．根據等體積法即V_V-FCB=V_B-VCF，可得B到面VCF的距離．
乙
（1）如圖2以D為原點，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，求出D₁F與EG1的方向向量，根據向量的數量積為0，兩個向量垂直得到D₁F⊥EG．
（2）由向量

AE

=(0，a，

a

2

），根據

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0．可得D₁F⊥AE．結合（1）的結論及線面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（3）由

AE

=(0，a，

a

2

），

D1B

=（a，a，-a），代入向量夾角公式可得cos＜

AE

，

D1B

＞

解答：甲
解：（1）取AD的中點G（圖1），連接VG，CG．
∵△ADV為正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
∴VG⊥平面ABCD，
則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
設AD=a，則VG=

3

2

a，DC=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠VCG=

VG

GC

=

3

3

．
∴∠VCG=30°．
即VC與平面ABCD成30°．
（2）連接GF，則GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而　FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．∴GF⊥FC．
連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，VG=GF=

3

2

a．
∴∠VFG=45°．　二面角V-FC-B的度數為135°．
（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG=3．
此時AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．
∴S△VFC=

1

2

VF•FC=9，S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴

1

3

•VG•S△FBC=

1

3

•h•S△VFC．
∴

1

3

×3×3

2

=

1

3

•h•9．
∴h=

2

即B到面VCF的距離為

2

．
乙
解：如圖2以D為原點，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設正方體AC₁棱長為a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，

a

2

），F（a，

a

2

，0），G（

a

2

，a，0）．
（1）

D1F

=(a，

a

2

，-a），

EG

=(-

a

2

，0，-

a

2

)，
∵

D1F

•

EG

=a(-

a

2

)+

a

2

×0+(-a)(-

a

2

)=0，
∴D₁F⊥EG．
（2）

AE

=(0，a，

a

2

），
∴

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0．
∴D₁F⊥AE．
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（3）由

AE

=(0，a，

a

2

），

D1B

=（a，a，-a），
∴cos＜

AE

，

D1B

＞=

AE • D1B

| AE |•| D1B |

=

a2- 1 2 a2

0+a2+ a2 4 • a2+a2+(-a)2

=

5

15

．

點評：題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，點、線、面間的距離計算，是立體幾何的一個綜合考查，難度稍大．