Question

如圖1，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于．對于圖2：
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BD的中點E，先證得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；
（II）欲證線面垂直，轉化為證明線線垂直，證明AC⊥BC，AC⊥CD即可；
（III）欲求直線AC與平面ABD所成角，先結合（I）中的垂直關系作出直線AC與平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的邊角關系即可求出所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）解：取BD的中點E，連接連接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴cos∠AEC=
在△ACE中，AE=，CE=
∴AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠AEC=6+2-2×××=4
∴AC=2；
（Ⅱ）由AD=BD=2，AC=BC=CD=2
∴AC²+BC²=AB²，AC²+CD²=AD²，
∴∠ACB=∠ACD=90°
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C，
∴AC⊥平面BCD．
（（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE，BD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，則CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC與平面ABD所成的角，
∴sin∠CAF=sin∠CAE==
點評：本題考查余弦定理的運用，二面角、線面角的求法，線面垂直的判定，以及數形結合數學、空間想象能力或用向量解決立體幾何問題的方法能力．