Question

已知直線l與直線x+y=1=0垂直，其縱截距b=-

3

，橢圓C的兩個焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且與直線l相切．
（1）求直線l，橢圓C的方程；
（2）過F₁作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，與橢圓分別交于P、Q及M、N，求四邊形PMQN面積的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由直線l與直線x+y-1=0垂直，其縱截距b=-

3

，能示出直線l的方程；設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x- 3

，得(a2+b2)x2-2

3

a2x+3a2-a2b2=0，由△=0，得a²+b²=3，由焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），得a²-b²=1，由此能求出橢圓方程．
（2）若PQ斜率不存在（或?yàn)?）時，S_{四邊形PMQN}=2；若PQ斜率存在時，設(shè)為k，（k≠0），則MN的斜率為-

1

k

，直線PQ的方程為y=kx+k，由

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得|PQ|=2

2

•

k2+1

2k2+1

，同理，得|MN|=2

2

•

k2+1

2+k2

，由此求出S_{四邊形PMQN}∈[

16

9

，2]，從而得到四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為

16

9

．

解答： 解：（1）∵直線l與直線x+y-1=0垂直，其縱截距b=-

3

，
∴直線l的方程為y=x-

3

，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x- 3

，得(a2+b2)x2-2

3

a2x+3a2-a2b2=0，
∴△=（-2

3

a2）²-4（a²+b²）（3a²-a²b²）=0，即a²+b²=3，
又∵焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴a²-b²=1，
聯(lián)立上式解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）若PQ斜率不存在（或?yàn)?）時，
S_{四邊形PMQN}=

|PQ|•|MN|

2

=

2 2 ×2 1- 1 2

2

=2，
若PQ斜率存在時，設(shè)為k，（k≠0），則MN的斜率為-

1

k

，
直線PQ的方程為y=kx+k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
則x1+x2=

-4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|
=

1

2k2+1

(1+k2)[16k4-8(k2-1)(2k2+1)]

=2

2

•

k2+1

2k2+1

，
同理，得|MN|=2

2

•

k2+1

2+k2

，
∴S_{四邊形PMNQ}=

|PQ|•|MN|

2

=4•

(k2+1)2

(2+k2)(2k2+1)

=4•

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

=2•

2k4+4k2+2

2k4+5k2+2

=2（1-

k2

2k4+5k2+2

）=2（1-

1

2k2+ 2 k2 +5

），
∵2k2+

2

k2

+5≥2

2k2• 2 k2

+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時取等號，
∴

1

2k2+ 2 k2 +5

∈（0，

1

9

]，
∴S_{四邊形PMQN}∈[

16

9

，2]．
綜上所述，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為

16

9

．

點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值和最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．