Question

己知sin²x+cos²x=1，函數(shù)f（x）=-

1

2

-

a

4

+acosx+sin²x（0≤x≤

π

2

）的最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令t=cosx，可得t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-t²+at+

2-a

4

=-(t-

a

2

)2+

a2-a+2

4

．利用二次函數(shù)的性質以及函數(shù)的最大值為2，分類討論求得a的值．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=-

1

2

-

a

4

+acosx+sin²x=-cos²x+a•cosx+

2-a

4

，令t=cosx，
則由0≤x≤

π

2

，可得t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-t²+at+

2-a

4

=-(t-

a

2

)2+

a2-a+2

4

．
當

a

2

＜0時，g（t）在[0，1]上是減函數(shù)，故當t=0時，函數(shù)取得最大值為

2-a

4

=2，求得a=-6．
當

a

2

∈[0，1]，時，g（t）在[0，1]上的最大值為 g（

a

2

）=

a2-a+2

4

=2，求得a=-2（舍去），或a=3（舍去）．
當

a

2

＞1時，g（t）在[0，1]上是增函數(shù)，故當t=1時，函數(shù)取得最大值為g（1）=a-1+

2-a

4

=2，求得a=

10

3

．
綜上可得，a=-6，或a=

10

3

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，余弦函數(shù)的定義域和值域，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬基礎題．