Question

設f(x)=

1+x

1-x

，又記：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，則f₂₀₁₂（2012）=

2012

．

Answer 1

分析：根據遞推公式f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可以遞推出前幾項，能不完全歸納出周期T=4，所以f₂₀₁₂（x）=f₄（x）=0，從而得出答案．

解答：解：由題意知
∵f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x），
 f₂（x）=f（f₁（x））=-

1

x

；
 f₃（x）=f（f₂（x））=

x-1

x+1

；
 f₄（x）=f（f₃（x））=x；
 f₅（x）=f（f₄（x））=

1+x

1-x

；
…
歸納出規律：f_k（x）以周期T=4的周期數列，
∴f₂₀₁₂（x）=f₄（x）=x，
則f₂₀₁₂（2012）=2012，
故答案為：2012．

點評：本題主要考查由遞推公式，遞推出數列的前幾項，歸納出一定的規律，即周期為T=4的周期數列，對學生的不完全歸納法的思想能力要求比較高．