Question

【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B以及CD的中點P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD內(含邊界)，且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為km．

(I)設，將表示成的函數關系式；

(II)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長度最短，并求出最短值．

Answer 1

【答案】（I）（II）污水處理廠的位置為點P位于線段AB的中垂線上且距離處，

【解析】

(I)在直角三角形AOQ中,利用AQ=10,可以求得OA和OQ,從而可得OP=10-OQ,

然后可得,并寫上的范圍,即可得到.

(II)利用導數得到函數的單調性,根據單調性可求得函數的最值.

（I）由條件PQ垂直平分AB，若，則，

故又,所以,

所以，

所求函數關系式為

（II）,

令,得 ,,所以,

當時,,是的減函數,

當時,, 是的增函數,

所以當時,,

此時點位于線段的中垂線上,且距離邊處.

所以三條排污管管道總長最短為