Question

（13分）已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點。
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC的中點O，連結OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=DC ∴FO∥AE
又E是AB的中點．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE 又OE平面PEC，AF平面PEC ∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連結AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平
面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，即直線PC與平面ABCD所成的角正切為
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連結PM，由三垂線定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角 
由△AME∽△CBE，可得，∴
∴二面角P一EC一D的正切為

略