Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，．

（1）求證：；

（2）試在線段上找一點，使平面，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點．

【解析】試題分析：（1）連接，過作，垂足為，又滿足線面垂直的判定定理，所以平面，因為在面內，所以可得；（2）當為中點時，取中點為，連接，平面，平面，根據線面平行的判定定理可得平面.

試題解析：（1）連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E

在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，

所以四邊形ADCE是正方形．

所以∠ACD=∠ACE=45°,因為AE=CD=AB，所以BE=AE=CE

所以∠BCE═45°所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°

所以AC⊥BC，又因為BC⊥PC，AC∩PC=C，AC平面PAC，PC平面PAC/p>

所以BC⊥平面PAC，而PA平面PAC，所以PA⊥BC．

（2）當M為PB中點時，CM∥平面PAD，

證明：取AP中點為F，連接CM，FM，DF．則FM∥AB，FM=AB，

因為CD∥AB，CD=AB，所以FM∥CD，FM=CD． 所以四邊形CDFM為平行四邊形，所以CM∥DF，

因為DF平面PAD，CM平面PAD，所以，CM∥平面PAD．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直證明線線垂直，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.