Question

如圖，邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，現給出下列命題，其中正確的命題有________．（填上所有正確命題的序號）
（1）動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（2）三棱錐A′-FED的體積有最大值；
（3）恒有平面A′GF⊥平面BCED；
（4）異面直線A′E與BD不可能互相垂直．

Answer 1

解：過A′作A'H⊥面ABC，垂足為H，
∵△ABC為正三角形且中線AF與中位線DE相交
∴AG⊥DE A′G⊥DE，
又∵AG∩A′G=G
∴DE⊥面A′GA，
∵DE?面ABC，
∴面A′GF⊥面ABC且面A′GA∩面ABC=AF
∴H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故①對③對．
S_{三棱錐A′-FED}=S_△EFD•A′H，
∵底面面積是個定值，
∴當A′H為A′G時，三棱錐的面積最大，故②對；
在△A′ED是△AED繞DE旋轉的過程中異面直線A′E與BD可能互相垂直，故④不對
故答案為：（1）（2）（3）．
分析：由△ABC為正三角形可探討過A'作面ABC的垂線的垂足的位置在AF上，從而可以得到①②③，通過舉反例否定④，即可的答案．
點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，考查空間中點，線，面的位置關系，以及線面，面面垂直的判斷和性質，同時也考查了異面直線所成角，是個基礎題