Question

如圖，邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，現給出下列命題：①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；②三棱錐A′-FED的體積有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④異面直線A′E與BD不可能互相垂直；⑤異面直線FE與A′D所成角的取值范圍是(0，

π

2

]．其中正確命題的序號是

 

．（將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：由△ABC為正三角形可探討過A'作面ABC的垂線的垂足的位置在AF上，從而可以得到①②③，利用異面直線所成角的定義可知⑤的準確性，通過舉反例否定④，即可的答案．

解答：解：過A'作A'H⊥面ABC，垂足為H
∵△ABC為正三角形且中線AF與中位線DE相交
∴AG⊥DE A'G⊥DE    又∵AG∩A'G=G
∴DE⊥面A'GA  
∵DE?面ABC∴面A'GA⊥面ABC 且面A'GA∩面ABC=AF
∴H在AF上，故①對③對．

1

3

S△EFDS_{三棱錐A′-FED}=

1

3

S△EFD•A'H
∵底面面積是個定值，∴當A'H為A'G時，三棱錐的面積最大，故②對
由異面直線所成角的定義知：異面直線FE與A′D所成角的取值范圍是(0，

π

2

]，故⑤對．
在△A′ED是△AED繞DE旋轉的過程中異面直線A′E與BD可能互相垂直，故④不對
故答案為：①②③⑤

點評：本題主要考查了空間中點，線，面的位置關系，以及線面，面面垂直的判斷和性質，同時也考查了異面直線所成角，是個基礎題．